Bài Toán Thực Tế Về Cấp Số Cộng, Các Dạng Bài Tập Cấp Số Nhân

-

Bạn đang xem bài viết Bài Toán Thực Tế Về Cấp Số Nhân Cực Hay Có Lời Giải được cập nhật mới nhất trên website Englishhouse.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.

Bạn đang xem: Bài toán thực tế về cấp số cộng

Bài toán thực tế về cấp số nhân cực hay có lời giải A. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa). Tính (chính xác đến hàng phần trăm) khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 7314 ngày (khoảng 20 năm).

Hướng dẫn giải:

Kí hiệu u n (gam) là khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau n chu kì án rã.

Ta có 7314 ngày gồm 53 chu kì bán rã. Theo đề bài ra, ta cần tính u 53.

Từ giả thiết suy ra dãy (u n) là một cấp số nhân với số hạng đầu là và công bội q=0,5.

Do đó .

Chọn A.

Ví dụ 2: Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12288 m 2). Tính diện tích mặt trên cùng.

Hướng dẫn giải:

Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ tầng 1) lập thành một cấp số nhân có công bội và

Khi đó diện tích mặt trên cùng là

Chọn A.

Ví dụ 3: Một du khách vào trường đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt 20000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cọc trước. Người đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10 Hỏi du khác trên thắng hay thua bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Số tiền du khác đặt trong mỗi lần (kể từ lần đầu) là một cấp số nhân có U 1 = 20000 và công bội q = 2.

Du khách thua trong 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền thua là:

Số tiền mà du khách thắng trong lần thứ 10 là

Ta có nên du khách thắng 20 000.

Chọn C.

Ví dụ 4: Một người bắt đầu đi làm được nhận được số tiền lương là 7000000đ một tháng. Sau 36 tháng người đó được tăng lương 7%. Hằng tháng người đó tiết kiệm 20% lương để gửi vào ngân hàng với lãi suất 0,3%/tháng theo hình thức lãi kép( nghĩa là lãi của tháng này được nhập vào vốn của tháng kế tiếp). Biết rằng người đó nhận lương vào đầu tháng và số tiền tiết kiệm được chuyển ngay vào ngân hàng.

Hỏi sau 36 tháng tổng số tiền người đó tiết kiệm được ( cả vốn lẫn lãi) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng nghìn)

Hướng dẫn giải:

Hết tháng thứ nhất, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là .

Hết tháng thứ hai, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là

Hết tháng thứ 36, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là

Thay số ta được

Chọn C

Ví dụ 5: Tục truyền rằng nhà vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ vua được lựa chọn phần thưởng tùy theo sở thích. Người đó xin nhà vua: ”Bàn cờ có 64 ô, với ô thứ nhất thần xin nhận 1 hạt,ô thứ 2 thì gấp đôi ô đầu, ô thứ 3 thì lại gấp đôi ô thứ hai,… cứ như vậy ô sau nhận số hạt thóc gấp đôi phần thưởng dành cho ô liền trước và thần xin nhận tổng số các hạt thóc ở 64 ô”. Hỏi người đó sẽ nhận được một phần thưởng tương ứng nặng bao nhiêu? (Giả sử 100 hạt thóc nặng 20 gam).

Hướng dẫn giải:

Tổng số hạt thóc phần thưởng là tổng 64 số hạng đầu tiên một cấp số nhân với u 1 = 1, q = 2.

Suy ra:

Quy đổi: 100 hạt thóc nặng 20 gam suy ra 50.000.000 hạt nặng 1 tấn.

Suy ra 2 64 − 1 hạt thóc nặng .

Chọn B.

Ví dụ 6: Tìm hiểu tiền công khoan giếng ở hai cơ sở khoan giếng, người ta được biết:

– Ở cơ sở A: Giá của mét khoan đầu tiên là 50.000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 10000 đồng so với giá của mét khoan ngay trước.

– Ở cơ sở B: Giá của mét khoan đầu tiên là 50.000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 8% giá của mét khoan ngay trước.

Một người muốn chọn một trong hai cơ sở nói trên để thuê khoan một cái giếng sâu 20 mét, một cái giếng sâu 30 mét ở hai địa điểm khác nhau. Hỏi người ấy nên chọn cơ sở khoan giếng nào cho từng giếng để chi phí khoan hai giếng là ít nhất. Biết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau.

Hướng dẫn giải:

Kí hiệu A n, B n lần lượt là số tiền công ( đơn vị đồng) cần trả theo cách tính giá của cơ sở A và cơ sở B.

Theo giả thiết ta có:

+ A n là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng với số hạng đầu u 1 = 50000 và công sai d = 10000.

B n là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu v 1 = 50000 và công bội q = 1,08. Do đó

Suy ra nên chọn cơ sở B khoan giếng 20 mét.

Suy ra nên chọn cơ sở A để khoan giếng 30 mét.

Chọn D.

B. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12288m 2). Tính diện tích mặt trên cùng

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ 1) lập thành một cấp số nhân có công bội

Câu 2: Một của hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng A với giá 100 (đơn vị nghìn đồng). Sau đó, cửa hàng tăng giá mặt hàng A lên 10% Nhưng sau một thời gian, cửa hàng lại tiếp tục tăng giá mặt hàng đó lên 10% Hỏi giá của mặt hàng A của cửa hàng sau hai làn tăng giá là bao nhiêu?

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Câu 3: Một người đem 100 triệu đồng đi gửi tiết kiệm với kỳ han 6 tháng, mỗi tháng lãi suất là 0,7% số tiền mà người đó có. Hỏi sau khi hết kỳ hạn, người đó được lĩnh về bao nhiêu tiền?

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Đặt r = 0,7% = 0,007

Số tiền sau tháng thứ nhất là

Số tiền sau tháng thứ hai là

Lập luận tương tự, ta có số tiền sau tháng thứ sáu là

Do đó

Câu 4: Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh M là 1,2% Biết rằng số dân của tỉnh M hiện nay là 2 triệu người. Nếu lấy kết quả chính xác đến hàng nghìn thì sau 9 năm nữa số dân của tỉnh M sẽ là bao nhiêu?

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Ta có: .

Câu 5: Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần. Nếu lúc đầu có 10 12 tế bào thì sau 3 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Vậy, số tế bào nhận được sau 3 giờ là .

Câu 6: Ta biết rằng trong một hồ sen; số lá sen ngày hôm sau bằng 3 lần số lá sen ngày hôm trước. Biết rằng ngày đầu có 1 lá sen thì tới ngày thứ 10 hồ sẽ đầy lá sen. Hỏi nếu ngày đầu có 9 lá sen thì tới ngày thứ mấy hồ sẽ đầy lá sen?

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Số hạng thứ n là .

Câu 7: Cho n đường tròn đồng tâm O. Biết rằng r 1 =2; chu vi đường tròn (O; r 2) có gấp 2 lần chu vi đường tròn (O; r 1);…; chu vi đường tròn (O; r n) gấp 2 lần chu vi đường tròn (O;r n-1).Chu vi đường tròn (O; r n) gấp 256 lần chu vi đường tròn (O; r 1). Tính r n-1?

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Đã có app Viet
Jack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và i
OS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

day-so-cap-so-cong-va-cap-so-nhan.jsp

Hướng Dẫn Giải Các Dạng Toán Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân

Hướng dẫn giải các dạng toán dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Xin chào các em! Và hôm nay, trong bài viết này chúng tôi xin được chia sẻ với các em một bộ tài liệu hướng dẫn giải các dạng toán dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân một cách chi tiết và dễ dàng nhất. Đây là bộ tài liệu gồm 90 trang tổng hợp và hướng dãn giải về các dạng toán chuyên đề về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân.

NHẬN NGAY KHÓA HỌC MIỄN PHÍ

Phần 1. Dãy số

A – Lý thuyết

B – Bài tập

Dạng 1. Số hạng của dãy số

Dạng 2. Dãy số đơn điệu, dãy số bị chặn

Phần 2. Cấp số cộng

A – Lý thuyết

B – Bài tập

Dạng 1. Xác định cấp số cộng và các yếu tố của cấp số cộng

Phương pháp: + Dãy số (un) là một cấp số cộng ⇔ un+1 – un = d không phụ thuộc vào n và d là công sai + Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua u1 và d

Dạng 2. Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng: Ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng ⇔ a + c = 2b

Phần 3. Cấp số nhân

A – Lý thuyết

B – Bài tập

Dạng 1. Xác định cấp số nhân và các yếu tố của cấp số nhân

Phương pháp: + Dãy số (un) là một cấp số nhân ⇔ un+1/un = q không phụ thuộc vào n và q là công bội + Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua u1 và q

Dạng 2. Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân: Ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân ⇔ ac = b^2

5

/

5

(

2

bình chọn

)

Cách Tìm Cực Trị Của Hàm Hợp Cực Hay, Có Lời Giải

Cách tìm cực trị của hàm hợp cực hay, có lời giải A. Phương pháp giải a. Kiến thức cần nhớ

– Đạo hàm của hàm hợp:

  ’ = u"(x).f"(u(x))

– Tính chất đổi dấu của biểu thức:

Gọi x = α là một nghiệm của phương trình: f(x) = 0. Khi đó

+) Nếu x = α là nghiệm bội bậc chẳn ((x – α) 2,(x – α) 4,…) thì hàm số y = f(x) không đổi dấu khi đi qua α.

+) Nếu x = α là nghiệm đơn hoặc nghiệm bội bậc lẻ ((x – α),(x – α) 3,…) thì hàm số y = f(x) đổi dấu khi đi qua α.

b. Phương pháp

Đề tìm cực trị của hàm số y = f(u(x)) ta làm như sau:

– Bước 1: Tính

– Bước 2: Giải phương trình ’ = 0 dựa vào đồ thị hay bảng biến thiên của hàm số y = f(x)

– Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số

– Bước 4: Kết luận về các điểm cực trị

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f"(x) như hình bên.

Tìm số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(x 2 – 3).

A. 2.

B. 3

C. 4.

D. 5.

Lời giải

Chọn B

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và có bảng xét dấu của y = f"(x) như sau

Hỏi hàm số g(x) = f(x 2 – 2x) có bao nhiêu điểm cực tiểu ?

A. 1.

Xem thêm: Real Và Barca Thống Trị Đội Hình Tiêu Biểu Fifa 2015 “, Đội Hình Tiêu Biểu Chính Là Trò Hề Của Fifa

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải

Chọn A

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có một điểm cực tiểu.

Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị hàm số y = f"(x) như hình vẽ sau. Số điểm cực trị của hàm số y = f(x) + 2x là:

A. 4.

B. 1.

C. 3.

D. 2.

Lời giải

Chọn B

Trên (x 0;+∞) thì f"(x)

Cách Làm Bài Toán Đồ Thị Hàm Số Lớp 9 Cực Hay Có Giải Chi Tiết

Cách làm bài toán Đồ thị hàm số lớp 9 cực hay có giải chi tiết Phương pháp giải + Điểm M(x o; y o) thuộc đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b ⇔ y o = ax o + b.

+ Đồ thị hàm số y = ax + b là một đường thẳng đi qua hai điểm A(0; b) và B(-b/a;0) .

+ a được gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b.

Góc α là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và hướng dương của trục Ox.

Ví dụ minh họa

a) y = 2x + 1 b) y = -x + 3.

c) y = 3x – 6. d) y = -2x – 4.

Hướng dẫn giải:

a) Xét hàm số y = 2x + 1.

+ Với x = 0 thì y = 2.0 + 1 = 1.

+ Với y = 0 ⇒ x = -1/2 .

Vậy đồ thị hàm số y = 2x + 1 là đường thẳng đi qua hai điểm A(0; 1) và B(-1/2;0) .

Hệ số góc k = 2.

b) Xét hàm số y = -x + 3

+ Với x = 0 ⇒ y = 3.

+ Với y = 0 ⇒ x = 3.

Vậy đồ thị hàm số y = -x + 3 là đường thẳng đi qua hai điểm A(3; 0) và B(0; 3).

Hệ số góc k = -1.

c) Xét hàm số y = 3x – 6.

+ Với x = 0 ⇒ y = -6

+ Với y = 0 ⇒ x = 2.

Vậy đồ thị hàm số y = 3x – 6 là đường thẳng đi qua hai điểm A(0 ; -6) và B(2 ; 0).

Hệ số góc k = 3.

d) Xét hàm số y = -2x – 4

+ Với x = 0 ⇒ y = -4.

+ Với y = 0 ⇒ x = -2.

Vậy đồ thị hàm số y = -2x – 4 là đường thẳng đi qua 2 điểm A(-2 ; 0) và B(0 ; -4).

Hệ số góc k = -2.

Ví dụ 2: a) Vẽ đồ thị của các hàm số y= 1/3x ; y= 1/3x +1 ; y= -1/3x ; y= -1/3x +1 trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.

b) Bốn đường thẳng trên lần lượt cắt nhau tạo thành tứ giác OABC. Tứ giác OABC là hình gì ? Tại sao ?

Hướng dẫn giải:

a) + y= 1/3x là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm (3 ; 1).

+ y= 1/3x + 1 là đường thẳng đi qua điểm (0 ; 1) và (-3 ; 0).

+ y= -1/3x là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm (-3 ; 1).

+ y= -1/3x + 1 là đường thẳng đi qua (0 ; 1) và (3 ; 0).

b) Dựa vào đồ thị hàm số có thể nhận thấy A(-3/2;1/2) ; B(0 ; 1) ; C(3/2;1/2) .

Ta có

Vậy OA = AB = BC = CO nên tứ giác OABC là hình thoi.

Ví dụ 3: Cho hình vẽ dưới :

a) Hãy xác định hàm số có đồ thị là đường thẳng d đã cho đi qua A và B.

b) Tính khoảng cách OH từ O đến đường thẳng d.

Hướng dẫn giải:

a) Hàm số cần tìm có dạng y = ax + b.

+ Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại A(0; 2) ⇒ 2 = 0.a + b ⇒ b = 2.

+ Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại B(-5; 0) ⇒ 0 = -5a + b ⇒ a = b/5 = 2/5 .

Vậy hàm số cần tìm là y = 2/5x + 2 .

b)

Nhận thấy tam giác OAB vuông tại O, OH ⊥ AB.

OA = 2; OB = 5.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

Vậy khoảng cách từ O đến đường thẳng d là

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài 1: Đường thẳng y = 3/4x – 3 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng:

A. -4 B. -3 C. 4 D. 9/4 .

Bài 2: Đường thẳng y = -5x + 1/2 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng:

A. -10 B. 1/2 C. -1/2 D. 10

Bài 3: Đồ thị hàm số y = x +2 đi qua điểm :

A. (0; -2) B. (1; 3) C. (1; 0) D. (0; 0).

A. y = 2x + 1 B. y = -1/2x + 3 .

C. y = -2x + 1. D. y = -5x – 2.

Bài 5: Đồ thị hàm số y = ax + b có hệ số góc bằng 3, đi qua điểm B(2 ; 2) thì giá trị biểu thức a + b bằng :

A. -4 B. -1 C. 3 D. 7.

Bài tập tự luận tự luyện

Bài 6: Vẽ đồ thị hàm số y = -2x + 3.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số y = -2x + 3.

+ Với x = 0 ⇒ y = 3.

+ Với x = 1 ⇒ y = 1.

Vậy đồ thị hàm số y = -2x + 3 là đường thẳng đi qua hai điểm (0; 3) và (1; 1).

Bài 7: Biết đồ thị hàm số y = ax + 2 tạo với trục dương Ox một góc 45 o. Tìm a và vẽ đồ thị hàm số đó.

Hướng dẫn giải:

+ Hàm số y = ax + 2 có đồ thị cắt trục tung tại (0; 2).

+ Đồ thị hàm số tạo với hướng dương của trục Ox một góc 45 o nên ta có đồ thị hàm số y = ax + 2 như sau:

+ Vì đồ thị hàm số tạo với hướng dương trục Ox một góc 45 o nên giao điểm của đồ thị với trục Ox; Oy và gốc tọa độ tạo thành một tam giác vuông cân

⇒ Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (-2; 0).

⇒ 0 = a.(-2) + 2 ⇒ a = 1.

Vậy a = 2.

Bài 8: a) Vẽ đồ thị các hàm số y = x + 5 và y = -x +1 trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.

b) Hai đường trên cắt nhau tại A và cắt trục Ox lần lượt tại B và C. Tam giác ABC là tam giác gì ? Tính diện tích tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

a) + Xét hàm số y = x + 5.

Với x = 0 ⇒ y = 5.

Với y = 0 ⇒ x = -5.

Vậy đồ thị hàm số y = x + 5 là đường thẳng qua hai điểm (0; 5) và (-5; 0).

+ Xét hàm số y = -x + 1

Với x = 0 ⇒ y = 1

Với y = 0 ⇒ x = 1.

Vậy đồ thị hàm số y = -x + 1 là đường thẳng qua hai điểm (0 ; 1) và (1 ; 0).

Ta có :

BC = 6.

Mà AB = AC.

Vậy tam giác ABC vuông cân tại A.

Diện tích tam giác ABC: (đvdt).

Bài 9: Cho các hàm số y = 2x-2 (d1) ; y = -4/3x – 2 (d2) ; y = -1/3x +3 (d3)

a) Vẽ đồ thị các hàm số trên trên cùng hệ trục tọa độ.

b) Đường thẳng d3 cắt d1 và d2 tại A và B. Xác định tọa độ A và B.

c) Tính độ dài đoạn thẳng AB.

Hướng dẫn giải:

a) + Xét hàm số y = 2x – 2

Với x = 0 ⇒ y = -2.

Với y = 0 ⇒ x = 1.

Vậy đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua (0 ; -2) và (1 ; 0).

+ Xét hàm số y = -4/3x – 2

Với x = 0 ⇒ y = -2.

Với y = 0 ⇒ x = -3/2 .

Vậy đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua (0 ; -2) và (-3/2;0) .

+ Xét hàm số y = -1/3x + 3

Với x = 0 ⇒ y = 3.

Với y = 0 ⇒ x = 9.

Vậy đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua (0 ; 3) và (9 ; 0).

b) + Hoành độ giao điểm của (d3) và (d1) là nghiệm của phương trình :

Vậy A(15/7;16/7) .

+ Hoành độ giao điểm (d3) và (d2) là nghiệm của phương trình :

Vậy B(-5;14/3) .

c)

Bài 10: Tìm a biết gốc tọa độ O cách đồ thị hàm số y = ax + 5 (a ≠ 0) một khoảng bằng 3.

Hướng dẫn giải:

Tìm a biết gốc tọa độ O cách đồ thị hàm số y = ax + 3 một khoảng bằng 2.

+ Đường thẳng y = ax + 5 cắt trục tung tại A(0 ; 5).

+ Đường thẳng y = ax + 5 cắt trục hoành tại điểm B(-5/a;0) .

+ Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ gốc O đến đường thẳng ⇒ OH = 3.

Ta có :

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn điều kiện là y = 4/3x + 5 và y = -4/3x + 5 .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: chúng tôi

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Cập nhật thông tin chi tiết về Bài Toán Thực Tế Về Cấp Số Nhân Cực Hay Có Lời Giải trên website Englishhouse.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!

*

Nghị quyết hội nghị Trung ương VIII khóa XI chỉ đạo: “Giáo dục và đạo tạo là Quốc sách hàng đầu, là sự nghiệp của Đảng và Nhà nước và của toàn dân. Đầu tư cho giáo dục là đầu tư phát triển, được ưu tiên đi trước cho các chương trình, kế hoạch phát triển KT-XH; phát triển giáo dục và đạo tạo là nâng cao dân trí, đạo tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Học đi đôi với hành, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”.

Nghị quyết hội nghị Trung ương VIII khóa XI đề ra mục tiêu: “Đối với giáo dục phổ thông tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng truyền thống đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, phát triển khả năng sáng tạo và tự học, khuyến khích học tập suốt đời, hoàn thành đào tạo giáo dục phổ thông giai đoạn sau 2015”.

Đào tạo những con người phát triển toàn diện, có tư duy sáng tạo, có năng lực thực hành giỏi, có khả năng đáp ứng đòi hỏi ngày càng cao trước yêu cầu đẩy mạnh công nghiệp hóa – hiện đại hóa đất nước gắn liền với phát triển nền kinh tế tri thức và xu hướng toàn cầu hóa là nhiệm vụ cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta hiện nay. Để thực hiện được nhiệm vụ đó thì sự nghiệp giáo dục cần được đổi mới. Cùng với những thay đổi về nội dung, cần có những đổi mới căn bản về tư duy giáo dục và phương pháp dạy học.

 


*
21 trangthuychi0132588
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "SKKN Giúp học sinh lớp 11 vận dụng cấp số nhân giải một số bài toán thực tế", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAISÁNG KIẾN KINH NGHIỆMGIÚP HỌC SINH LỚP 11 VẬN DỤNG CẤP SỐ NHÂN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾNgười thực hiện: Lê Thị Hạnh
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học
THANH HOÁ NĂM 2017 MỤC LỤCI. MỞ ĐẦU1.1.Lý do chọn đề tài 2 1.2.Mục đích nghiên cứu 31.3.Đối tượng nghiên cứu 3 1.4.Phương pháp nghiên cứu4II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU52.1.Cơ sở lí luận52.2. Thực trạng52.2.1. Giới thiệu khái quát về trường52.2.2. Thực trạng trước khi nghiên cứu62.3. Các biện pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề62.3.1. Cơ sở lý thuyết72.3.2. Biện pháp đã sử dụng72.3.2.1. Bài tập 7 Dạng 1: Sử dụng công thức tổng quát7 Dạng 2: Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số nhân122.3.2.2. Bài toán vận dụng142.4. Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm14III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ173.1. Kết luận173.1. Kiến nghị17TÀI LIỆU THAM KHẢOI. MỞ ĐẦU1.1. Lý do chọn đề tài
Nghị quyết hội nghị Trung ương VIII khóa XI chỉ đạo: “Giáo dục và đạo tạo là Quốc sách hàng đầu, là sự nghiệp của Đảng và Nhà nước và của toàn dân. Đầu tư cho giáo dục là đầu tư phát triển, được ưu tiên đi trước cho các chương trình, kế hoạch phát triển KT-XH; phát triển giáo dục và đạo tạo là nâng cao dân trí, đạo tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Học đi đôi với hành, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”.Nghị quyết hội nghị Trung ương VIII khóa XI đề ra mục tiêu: “Đối với giáo dục phổ thông tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng truyền thống đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, phát triển khả năng sáng tạo và tự học, khuyến khích học tập suốt đời, hoàn thành đào tạo giáo dục phổ thông giai đoạn sau 2015”. Đào tạo những con người phát triển toàn diện, có tư duy sáng tạo, có năng lực thực hành giỏi, có khả năng đáp ứng đòi hỏi ngày càng cao trước yêu cầu đẩy mạnh công nghiệp hóa – hiện đại hóa đất nước gắn liền với phát triển nền kinh tế tri thức và xu hướng toàn cầu hóa là nhiệm vụ cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta hiện nay. Để thực hiện được nhiệm vụ đó thì sự nghiệp giáo dục cần được đổi mới. Cùng với những thay đổi về nội dung, cần có những đổi mới căn bản về tư duy giáo dục và phương pháp dạy học. Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và đời sống với vai trò đặc biệt. Toán học trở nên thiết yếu đối với mọi ngành khoa học, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh hơn. Môn Toán với vai trò cung cấp kiến thức kỹ năng, phương pháp góp phần xây dựng nền tảng văn hóa phổ thông của con người lao động trong thời kỳ đổi mới với việc thực hiện nguyên lý giáo dục: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và xã hội”, cần phải quán triệt trong mọi trường hợp để hình thành mối quan hệ mật thiết giữa Toán học và cuộc sống. Tuy nhiên, những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn trong chương trình SGK, cũng như trong các đề thi THPT Quốc Gia của những năm trước đây của môn Toán chưa đề cập nhiều. Đồng thời những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động và sản xuất còn được trình bày rất ít trong chương trình Toán phổ thông. Mặt khác, bắt đầu từ năm học 2016-1017 kì thi THPT Quốc gia sử dụng hình thức thi trắc nghiệm cho hầu hết các môn học trong đó có môn Toán thực chất là một cuộc cách mạng trong đánh giá để thực hiện Nghị quyết 29-NQ/TW năm 2013 về đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục, phù hợp với xu thế của thời đại ngày nay khi kiểm tra, đánh giá trên máy tính và online dần phổ biến trong kỷ nguyên số. Tuy nhiên nó cũng là cái khó khăn trước mắt cho giáo viên dạy Toán( vì trước đây các thầy cô đang dạy học sinh theo hướng làm bài tự luận). Để giúp giáo viên giải quyết khó khăn này Bộ Giáo dục và Đào tạo đã giới thiệu các đề thi minh họa, trong cấu trúc của đề thi đó có nhiều câu về bài toán thực tế. Vào năm học 2017-2018 chương trình thi THPT Quốc Gia gồm cả hai khối lớp 11 và 12 tiến tới nội dung thi toàn cấp. Vì vậy, việc tăng cường các bài toán có nội dung thực tiễn vào quá trình dạy học môn Toán ngay từ lớp 11 năm học 2016-2017 là rất cần thiết và có vai trò rất quan trọng trong nhiệm vụ giáo dục của nước ta hiện nay. Nếu xây dựng được hệ thống các bài toán có nội dung thực tiễn ứng dụngkiến thức Đại số và Giải tích lớp 11 THPT và có phương pháp tổ chức dạyhọc sinh giải các bài toán này một cách thích hợp thì góp phần gây hứng thú trong học tập củng cố kiến thức Đại số và Giải tích lớp 11 THPT, thấy được ứng dụng thực tế của Toán học, qua đó giúp học sinh hiểu rõ được mối quan hệ chặt chẽ giữa Toán học và thực tiễn. Trong chương trình Toán học 11 chương dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân được phân phối thời gian ít đặc biệt với bài cấp số nhân chỉ có hai tiết nhưng lại có rất nhiều bài toán thực tế sử dụng phần này để giải. Do đó, tôi đã lựa chọn đề tài:“Giúp học sinh lớp 11 vận dụng cấp số nhân giải một số bài toán thực tế’’.1.2. Mục đích nghiên cứuỨng dụng kiến thức cấp số nhân trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 để xây dựng hệ thống bài tập có nội dung thực tế giúp học sinh củng cố kiến thức phần cấp số nhân, giải quyết được các bài tập có liên quan, đồng thời góp phần tạo hứng thú học tập cho học sinh, giúp học sinh thấy được mối quan hệ giữa Toán học với thực tiễn.1.3. Đối tượng nghiên cứu
Trong đề tài này, đối tượng nghiên cứu của tôi là khai thác một số bài toán có nội dung thực tiễn liên quan đến cấp số nhân trong chương trình Đại số và Giải tích 11.1.4. Phương pháp nghiên cứu
Để trình bày sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã sử dụng phối kết hợp nhiều phương pháp như: nghiên cứu tài liệu, thuyết trình, quan sát, điều tra cơ bản, thực nghiệm so sánh, phân tích kết quả thực nghiệm, phù hợp với môn học thuộc lĩnh vực Toán học. II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU2.1. Cơ sở lý luận
Toán học có nguồn gốc thực tiễn. Toán học là khoa học nghiên cứu về các quan hệ số lượng, hình dạng và lôgíc trong thế giới khách quan. Toán học là khoa học nghiên cứu về cấu trúc số lượng mà người ta có thể trang bị cho một tập hợp bằng một hệ tiên đề. Những quan hệ về số lượng được hiểu theo một nghĩa rất tổng quát và trừu tượng. Toán học không chỉ bắt nguồn từ thực tiễn mà đồng thời nó cũng có khả năng phản ánh thực tiễn một cách rất đa dạng, toàn diện. Toán học nghiên cứu những mối quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới khách quan. Toán học có vai trò rất quan trọng và đựợc ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, vật lý, khí tượng thủy văn, công nghệ thông tin, khai thác dầu khí, quân sự, kỹ thuật mật mã, thiên văn học, tài chính ngân hàng
Theo Từ điển Tiếng Việt, với nghĩa danh từ, “thực tiễn” (cũng đồng nghĩavới "thực tế") là "tổng thể nói chung những gì đang tồn tại, đang diễn ra trong tự nhiên và trong xã hội, về mặt có quan hệ đến đời sống con người", với nghĩa động từ “thực tiễn” được hiểu là "những hoạt động của con người, trước hết là lao động sản xuất, nhằm tạo ra những điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của xã hội (nói tổng quát)" Như vậy, thực tế là tồn tại khách quan, có thể chưa có sự tác động của con người nhưng thực tiễn là có hoạt động của con người cải tạo, biến đổi thực tế nhằm một mục đích nào đó.Vận dụng toán học vào thực tiễn thực chất là vận dụng toán học vào giảiquyết một tình huống thực tế; tức là dùng những công cụ toán học thích hợp để tác động, nghiên cứu khách thể nhằm mục đích tìm một phần tử chưa biết nào đó, dựa vào một số phần tử cho trước trong khách thể hay để biến đổi, sắp xếp những yếu tố trong khách thể, nhằm đạt một mục đích đã đề ra. 2.2. Thực trạng2.2.1. Giới thiệu khái quát về trường
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn ), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi . Số được gọi là công bội của cấp số nhân.Nếu là cấp số nhân với công bội , ta có công thức truy hồi (1)Đặc biệt : Khi thì cấp số nhân có dạng Khi thì cấp số nhân có dạng Khi thì cấp số nhân có dạng 2.3.1.2. Số hạng tổng quát
Nếu cấp số nhân có số hạng đầu và công bội thì số hạng tổng quát được xác định bởi công thức : 2.3.1.3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân Cho cấp số nhân với công bội . Đặt .Khi đó 2.3.2. Biện pháp sử dụng Để giúp học sinh có thể giải được các bài tập thực tế ứng dụng cấp số nhân phần Đại số Giải tích 11 một cách dễ dàng tôi đã tiến hành các bước sau:Bước 1: Khái quát lại những kiến thức lí thuyết cơ bản có liên quan
Bước 2: Đưa ra các bài tập cho các tình huống thực tế điển hình cho từng dạng và yêu cầu học sinh giải dưới dạng tự luận (có hướng dẫn học sinh dùng máy tính bỏ túi)Bước 3: Đưa ra hệ thống câu hỏi dạng bài tập trắc nghiệm để học sinh vận dụng củng cố kiến thức.Bước 4: Kiểm nghiệm kết quả bằng hình thức kiểm tra 15 phút với đề trắc nghiệm.2.3.2.1. Bài tập Dạng 1: Sử dụng công thức tổng quát Ở dạng này tôi đưa ra một số bài tập minh họa sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân.Bài 1: Tục truyền rằng nhà Vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ Vua được lựa chọn một phần thưởng tùy theo sở thích. Người đó chỉ xin nhà thưởng cho số thóc bằng số thóc được đặt lên ô của bàn cờ như sau: Đặt lên ô thứ nhất của bàn cờ một hạt thóc, tiếp đến ô thứ hai hai hạt thóc cứ như vậy, số thóc ở ô sau gấp đôi số thóc ở ô liền trước cho đến ô cuối cùng. Tính số hạt thóc ở ô thứ .Hướng dẫn: Nếu gọi là số hạt thóc lần lượt trên ô bàn cờ thì ta có nên ta có cấp số nhân có số hạng đầu bằng 1 và công bội bằng . Từ đó ta sẽ tính được số hạt thóc ở ô thứ Giải Ta có cấp số nhân có số hạng đầu Số hạt thóc ở ô thứ là: Bài 2: Một tế bào của một quần thể trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần. Hỏi một tế bào sau mười lần phân chia sẽ thành bao nhiêu tế bào ?
Hướng dẫn:Ban đầu ta có một tế bào
Sau một lần phân chia (một chu kỳ 20 phút ), thì tế bào gốc phân chia thành hai tế bào
Sau hai lần phân chia thì ta có 4 tế bào Giải:Ta có cấp số nhân có Số tế bào nhận được sau mười lần phân chia là .Bài 3: Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ Poloni là ngày (nghĩa là sau ngày khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn lại một nửa). Tính khối lượng còn lại của gam Poloni sau ngày (khoảng sau năm). Giải: Gọi (gam) là khối lượng còn lại của gam Poloni sau n chu kì bán rã.Ta có gồm chu kì bán rã.Theo đề bài ta có cấp số nhân với nên (gam).Điều đáng quan tâm ở phần này là ta có thể sử dụng cấp số nhân để giải bài toán lãi ngân hàng Giả sử bạn có một khoản tiền A đồng gửi vào một ngân hàng nào đó với lãi suất cố định là r trong một năm. Sau một năm bạn sẽ có cả gốc lẫn lãi là . Cứ sau mỗi năm số tiền của bạn sẽ được nhân thêm bội số . Như vậy số tiền sau mỗi năm mà bạn có lập thành một cấp số nhân với . Gọi là số tiền bạn có sau n năm thì : .(1)Bài 4 Một ngân hàng quy định như sau đối với việc gửi tiền tiết kiệm theo thể thức có thời hạn: “Khi kết thúc kì hạn gửi tiền mà người gửi không đến rút tiền thì toàn bộ số tiền (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sẽ được chuyển gửi tiếp với kì hạn như kì hạn mà người gửi đã gửi”.Giả sử có một người gửi 10 triệu đồng với kì hạn một tháng vào ngân hàng nói trên và giả sử lãi suất của loại kì hạn này là .a) Hỏi nếu 6 tháng sau, kể từ ngày gửi, người đó mới đến ngân hàng để rút tiền thì số tiền rút được (gồm cả vốn và lãi) là bao nhiêu?b) Hỏi sau một năm, kể từ ngày gửi, người đó đến ngân hàng để rút tiền thì số tiền được bao nhiêu?
Hướng dẫn
Thông thường bài toán sẽ được giải quyết như sau:Sau một năm đàn bò ở huyện này tăng được là: (con)Nên tổng số bò sau một năm là (con)Sau 2 năm đàn bò lại tăng thêm (con)Nên tổng số bò sau năm thứ hai là (con)Sau 3 năm đàn bò lại tăng thêm (con)Nên tổng số bò sau năm thứ ba là (con)Bài toán được giải quyết xong. Tuy nhiên ta nhận thấy nếu yêu cầu bài toán là tính số con của đàn bò sau nhiều năm thì cách tính đi từng bước sẽ rất vất vả, chậm và dễ bị nhầm lẫn. Bằng kiến thức về cấp số nhân ta tìm cách tính tổng quát hơn.Gọi là tổng số gia súc thống kê ban đầu; là tỉ lệ tăng hàng năm và là tổng số đàn gia súc sau năm phát triển Ta có : Số gia súc sau một năm phát triển là : Số gia súc sau hai năm phát triển là : Số gia súc sau ba năm phát triển là : Như vậy, tổng số đàn gia súc sau mỗi năm phát triển lập thành cấp số nhân với công bội và Số gia súc sau năm phát triển là : Vậy (2)Áp dụng công thức này vào bài toán trên ta có thể tính được số bò ở huyện A sau 3 năm phát triển là : ( con)Bài 6: Kết quả kiểm kê vào cuối năm , cho biết số đàn bò ở huyện A là con và mấy năm qua tỉ lệ tăng đạt mỗi năm. Hãy tính xem vào đầu năm (cách đó ba năm về trước) đàn bò ở đây là bao nhiêu con? Thông thường bài toán được giảỉ bằng cách tính “lùi” số bò đầu năm 2016, đầu năm 2015,đầu năm 2014. Tuy nhiên ta thấy, gọi là tổng số đàn gia súc thống kê ban đầu năm 2014; là tỉ lệ tăng hàng năm và là tổng số đàn gia súc sau n năm phát triển. Tổng số đàn gia súc sau mỗi năm phát triển lập thành cấp số nhân.Ta có công thức Mà nên (con)Với bài toán dân số ta vận dụng cấp số nhân thực hiện rất đơn giản và dễ hiểu
Bài 7:Theo cục thống kê năm 2003 Việt Nam có 80.902.400 người và tỉ lệ tăng dân số hàng năm là 1,47%. Nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi thì năm 2016 Việt Nam sẽ có số dân là bao nhiêu?
Hướng dẫn:Gọi là dân số năm thống kê là tỉ lệ tăng hàng năm là tổng số dân sau n năm Ta có : Tổng số dân sau một năm là :Tổng số dân sau hai năm là : Tổng số dân sau ba năm là: Như vậy, tổng số dân sau mỗi năm lập thành cấp số nhân với công bội và Tổng số dân sau năm là : Vậy (3)Giải:Dân số Việt Nam năm 2016 là: (người)Bài 8 :Tỉ lệ giảm dân số hàng năm của nước Nga là 0,5%. Năm 1998 dân số nước này là 146.861.000 người. Hỏi đến năm 2008 dân số nước này là bao nhiêu?
Hướng dẫn :Cấp số nhân ta sử dụng sẽ có công bội Dân số của Nga giảm sau năm
Giải:Dân số của Nga năm 2008 là:(người)Dạng 2: Sử dụng công thức tổng số hạng đầu của cấp số nhân Bài 9: Câu chuyện 1: “Một phần thưởng thú vị”Một người nông dân được nhà Vua thưởng cho một số tiền trả trong 30 ngày và cho phép anh ta chọn một trong hai phương án : Theo phương án 1, nhà Vua cho anh ta nhận 1 xu trong ngày thứ nhất, 2xu trong ngày thứ hai, 4 xu trong ngày thứ ba,.. số tiền được nhận sau mỗi ngày tăng gấp đôi. Còn theo phương án 2: nhà Vua cho anh ta nhận ngày thứ nhất 1 đồng, ngày thứ hai 2mđồng, ngày thứ ba 3 đồng,Mỗi ngày số tiền tăng thêm một đồng. Biết 1 đồng bằng 12 xu. Hỏi phương án nào có lợi cho người nông dân?
Theo cách tính đơn giản ta tìm số tiền mà người nông dân nhận được sau 30 ngày .Theo phương án một, số tiền thưởng là tổng của cấp số nhân có nên xu Theo phương án hai, số tiền thưởng là tổng của cấp số cộng có nên đồng hay xu.Vậy người nông dân nên chọn phương án nào có lợi hơn?
Câu chuyện 2: “Một hào đổi lấy năm xu” Tương truyền, vào một ngày nọ, có một nhà toán học đến gặp một nhà tỉ phú và đề nghị được “bán tiền” cho ông theo công thức sau:Liên tục trong 30 ngày, mỗi ngày nhà toán học “bán” cho nhà tỉ phú 10 triệu đồng với giá một đồng ở ngày đầu tiên và kể từ ngày thứ hai, mỗi ngày nhà tỉ phú phải “mua” với giá gấp đôi của ngày hôm trước. Không một chút đắn đo, nhà tỉ phú đồng ý ngay tức thì, lòng thầm cảm ơn nhà toán học đã mang đến cho ông ta một